|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ýëåìåíòû òåîðèè óïðóãîñòè
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ââåäåíèå
Ïîä âîçäåéñòâèåì âíåøíèõ ñèë âñÿêîå òâåðäîå òåëî èçìåíÿåò ñâîþ ôîðìó – äåôîðìèðóåòñÿ. Äåôîðìàöèÿ, èñ÷åçàþùàÿ ñ ïðåêðàùåíèåì äåéñòâèÿ ñèë, íàçûâàåòñÿ óïðóãîé.
Ïðè óïðóãîé äåôîðìàöèè òåëà âîçíèêàþò âíóòðåííèå ñèëû óïðóãîñòè, ñòðåìÿùèåñÿ âåðíóòü òåëó ïåðâîíà÷àëüíóþ ôîðìó. Âåëè÷èíà ýòèõ ñèë ïðîïîðöèîíàëüíà äåôîðìàöèè òåëà.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Äåôîðìàöèÿ ðàñòÿæåíèÿ è ñæàòèÿ
Âîçíèêàþùåå óäëèíåíèå îáðàçöà (Δl) ïîä äåéñòâèåì âíåøíåé ñèëû (F) ïðîïîðöèîíàëüíî âåëè÷èíå äåéñòâóþùåé ñèëû, ïåðâîíà÷àëüíîé äëèíå (l) è îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíî ïëîùàäè ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ (S) – çàêîí Ãóêà:
| |
 |
1) |
ãäå
1/E – êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè.
Âåëè÷èíà E íàçûâàåòñÿ ìîäóëåì óïðóãîñòè ïåðâîãî ðîäà èëè ìîäóëåì Þíãà è õàðàêòåðèçóåò óïðóãèå ñâîéñòâà ìàòåðèàëà. Âåëè÷èíà F/S = p íàçûâàåòñÿ íàïðÿæåíèåì.
Äåôîðìàöèÿ ñòåðæíåé ëþáûõ äëèí è ñå÷åíèé (îáðàçöîâ) õàðàêòåðèçóåòñÿ âåëè÷èíîé, íàçûâàåìîé îòíîñèòåëüíîé ïðîäîëüíîé äåôîðìàöèåé, ε = Δl/l.
Çàêîí Ãóêà äëÿ îáðàçöîâ ëþáûõ ôîðì:
| |
 |
2) |
Ìîäóëü Þíãà ÷èñëåííî ðàâåí íàïðÿæåíèþ, óâåëè÷èâàþùåìó äëèíó îáðàçöîâ â äâà ðàçà. Îäíàêî ðàçðûâ îáðàçöà íàñòóïàåò ïðè çíà÷èòåëüíî ìåíüøèõ íàïðÿæåíèÿõ. Íà ðèñ.1 ãðàôè÷åñêè èçîáðàæåíà ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ çàâèñèìîñòü p îò ε, ãäå pìàêñ – ïðåäåë ïðî÷íîñòè, ò.å. íàïðÿæåíèå, ïðè êîòîðîì íà ñòåðæíå ïîëó÷àåòñÿ ìåñòíîå ñóæåíèå (øåéêà), pòåê – ïðåäåë òåêó÷åñòè, ò.å. íàïðÿæåíèå, ïðè êîòîðîì ïîÿâëÿåòñÿ òåêó÷åñòü (ò.å. óâåëè÷åíèå äåôîðìàöèè áåç óâåëè÷åíèÿ äåôîðìèðóþùåé ñèëû), póïð – ïðåäåë óïðóãîñòè, ò.å. íàïðÿæåíèå, íèæå êîòîðîãî ñïðàâåäëèâ çàêîí Ãóêà (èìååòñÿ â âèäó êðàòêîâðåìåííîå äåéñòâèå ñèëû).
 |
Ðèñ.1. Çàâèñèìîñòü íàïðÿæåíèÿ îò îòíîñèòåëüíîé ïðîäîëüíîé äåôîðìàöèè:
Êðèâàÿ I îòíîñèòñÿ ê ïëàñòè÷íîìó ìàòåðèàëó, à êðèâàÿ II – ê õðóïêîìó. Òî÷êè Î õàðàêòåðèçóþò ðàçðóøåíèå ìàòåðèàëà |
Ìàòåðèàëû ðàçäåëÿþòñÿ íà õðóïêèå è ïëàñòè÷íûå. Õðóïêèå âåùåñòâà ðàçðóøàþòñÿ ïðè î÷åíü ìàëûõ îòíîñèòåëüíûõ óäëèíåíèÿõ. Õðóïêèå ìàòåðèàëû îáû÷íî âûäåðæèâàþò, íå ðàçðóøàÿñü, áîëüøåå ñæàòèå, ÷åì ðàñòÿæåíèå.
Ñîâìåñòíî ñ äåôîðìàöèåé ðàñòÿæåíèÿ íàáëþäàåòñÿ óìåíüøåíèå äèàìåòðà îáðàçöà. Åñëè Δd – èçìåíåíèå äèàìåòðà îáðàçöà, òî ε1 = Δd/d ïðèíÿòî íàçûâàòü îòíîñèòåëüíîé ïîïåðå÷íîé äåôîðìàöèåé. Îïûò ïîêàçûâàåò, ÷òî |ε1/ε| < 1.
Àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà μ = |ε1/ε| íîñèò íàçâàíèå êîýôôèöèåíò ïîïåðå÷íîé äåôîðìàöèè èëè êîýôôèöèåíòà Ïóàññîíà.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Äåôîðìàöèÿ ñäâèãà
Ñäâèãîì íàçûâàþò äåôîðìàöèþ, ïðè êîòîðîé âñå ñëîè òåëà, ïàðàëëåëüíûå íåêîòîðîé ïëîñêîñòè, ñìåùàþòñÿ äðóã îòíîñèòåëüíî äðóãà. Ïðè ñäâèãå îáúåì äåôîðìèðóåìîãî îáðàçöà íå ìåíÿåòñÿ. Îòðåçîê ÀÀ1 (ðèñ.2), íà êîòîðûé ñìåñòèëàñü îäíà ïëîñêîñòü îòíîñèòåëüíî äðóãîé, íàçûâàþò àáñîëþòíûì ñäâèãîì. Ïðè ìàëûõ óãëàõ ñäâèãà óãîë α ≈ tg α = ÀÀ1/AD õàðàêòåðèçóåò îòíîñèòåëüíóþ äåôîðìàöèþ è åãî íàçûâàþò îòíîñèòåëüíûì ñäâèãîì.
 |
| Ðèñ.2. Äåôîðìàöèÿ ñäâèãà |
Çàêîí Ãóêà äëÿ äåôîðìàöèè ñäâèãà ìîæåò áûòü çàïèñàí â âèäå
| |
 |
3) |
ãäå êîýôôèöèåíò G íàçûâàåòñÿ ìîäóëü ñäâèãà.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ñæèìàåìîñòü âåùåñòâà
Âñåñòîðîííåå ñæàòèå òåëà ïðèâîäèò ê óìåíüøåíèþ îáúåìà òåëà íà ΔV è âîçíèêíîâåíèþ óïðóãèõ ñèë, ñòðåìÿùèõñÿ âåðíóòü òåëó ïåðâîíà÷àëüíûé îáúåì. Ñæèìàåìîñòüþ (β) íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà, ÷èñëåííî ðàâíàÿ îòíîñèòåëüíîìó èçìåíåíèþ îáúåìà òåëà ΔV/V ïðè èçìåíåíèè äåéñòâóþùåãî ïî íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè íàïðÿæåíèÿ (p) íà åäèíèöó.
Âåëè÷èíà, îáðàòíàÿ ñæèìàåìîñòè, íîñèò íàçâàíèå ìîäóëÿ îáúåìíîé óïðóãîñòè (K).
Èçìåíåíèå îáúåìà òåëà ΔV ïðè âñåñòîðîííåì óâåëè÷åíèè äàâëåíèÿ íà ΔP âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
| |
 |
4) |
ãäå
V – ïåðâîíà÷àëüíûé îáúåì òåëà.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó óïðóãèìè ïîñòîÿííûìè
Ìîäóëü Þíãà, êîýôôèöèåíò Ïóàññîíà, ìîäóëü îáúåìíîé óïðóãîñòè è ìîäóëü ñäâèãà ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé óðàâíåíèÿìè:
êîòîðûå ïî äâóì èçâåñòíûì óïðóãèì õàðàêòåðèñòèêàì ïîçâîëÿþò, â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè, ðàññ÷èòàòü îñòàëüíûå.
Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ óïðóãîé äåôîðìàöèè îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
| |
 |
5) |
ãäå
F – ñèëà óïðóãîñòè;
Δl – âåëè÷èíà äåôîðìàöèè.
Åäèíèöû èçìåðåíèÿ ìîäóëåé óïðóãîñòè:
Í/ì2 (ÑÈ), äèí/ñì2 (ÑÃÑ), êÃ/ì2 (ÌÊÃÑÑ) è êÃ/ìì2.
1 êÃ/ìì2 = 9,8·108 Í/ì2 = 9,8·107 äèí/ñì2 = 108 êÃ/ì2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ïðèëîæåíèå
 |
Ðèñ.3. Çàâèñèìîñòü ïðåäåëà ïðî÷íîñòè îò òåìïåðàòóðû:
1 – âîëüôðàì, 2 – íèêåëåâàÿ ñòàëü, 3 – êîáàëüòîâàÿ ñòàëü, 4 – ñòàëü N-155, 5 – Mo 0,5 Ti, 6 – Ti 36Al |
Òàáëèöà 1 — Ïðåäåëû ïðî÷íîñòè íåêîòîðûõ ìàòåðèàëîâ (êÃ/ìì2)
| Ìàòåðèàë |
Ïðåäåë ïðî÷íîñòè |
| ïðè ðàñòÿæåíèè |
ïðè ñæàòèè |
| Àìèíîïëàñòû ñëîèñòûå |
8 |
20 |
| Áàêåëèò |
2–3 |
8–10 |
| Áåòîí |
— |
0,5–3,5 |
| Âèíèïëàñò |
4 |
8 |
| Ãåòèíàêñ |
15–17 |
15–18 |
| Ãðàíèò |
0,3 |
15–26 |
| Ãðàôèò |
0,5–1,0 |
1,6–3,8 |
| Äóá (ïðè 15% âëàæíîñòè) âäîëü âîëîêîí |
9,5 |
5 |
| Äóá (ïðè 15% âëàæíîñòè) ïîïåðåê âîëîêîí |
— |
1,5 |
| Êèðïè÷ |
— |
0,74–3 |
| Ëàòóíü, áðîíçà |
22–50 |
— |
| Ëåä (0 °Ñ) |
0,1 |
0,1–0,2 |
| Ïåíîïëàñò ïëèòî÷íûé |
0,06 |
— |
| Ïîëèàêðèëàò (îðãñòåêëî) |
5 |
7 |
| Ïîëèñòèðîë |
4 |
10 |
| Ñîñíà (ïðè 15% âëàæíîñòè) âäîëü âîëîêîí |
8 |
4 |
| Ñîñíà (ïðè 15% âëàæíîñòè) ïîïåðåê âîëîêîí |
— |
0,5 |
| Ñòàëü äëÿ êîíñòðóêöèé |
38–42 |
— |
| Ñòàëü êðåìíåõðîìîìàðãàíöîâèñòàÿ |
155 |
— |
| Ñòàëü óãëåðîäèñòàÿ |
32–80 |
— |
| Ñòàëü ðåëüñîâàÿ |
70–80 |
— |
| Òåêñòîëèò ÏÒÊ |
10 |
15–25 |
| Ôåíîïëàñò òåêñòîëèòîâûé |
8–10 |
10–26 |
| Ôòîðîïëàñò-4 |
2 |
— |
| Öåëëîí |
4 |
16 |
| Öåëëóëîèä |
5–7 |
— |
| ×óãóí áåëûé |
— |
äî 175 |
| ×óãóí ñåðûé ìåëêîçåðíèñòûé |
21–25 |
äî 140 |
| ×óãóí ñåðûé îáûêíîâåííûé |
14–18 |
60–100 |
Òàáëèöà 2 — Ìîäóëè óïðóãîñòè è êîýôôèöèåíòû Ïóàññîíà
| Íàèìåíîâàíèå ìàòåðèàëà |
Ìîäóëü Þíãà
E,
107 Í/ì2 |
Ìîäóëü ñäâèãà
G,
107 Í/ì2 |
Êîýôôèöèåíò Ïóàññîíà
μ |
| Àëþìèíèé |
6300–7000 |
2500–2600 |
0,32–0,36 |
| Áåòîí |
1500–4000 |
700–1700 |
0,1–0,15 |
| Âèñìóò |
3200 |
1200 |
0,33 |
| Áðîíçà àëþìèíèåâàÿ, ëèòüå |
10300 |
4100 |
0,25 |
| Áðîíçà ôîñôîðèñòàÿ êàòàíàÿ |
11300 |
4100 |
0,32–0,35 |
| Ãðàíèò, ìðàìîð |
3500–5000 |
1400–4400 |
0,1–0,15 |
| Äþðàëþìèíèé êàòàíûé |
7000 |
2600 |
0,31 |
| Èçâåñòíÿê ïëîòíûé |
3500 |
1500 |
0,2 |
| Èíâàð |
13500 |
5500 |
0,25 |
| Êàäìèé |
5000 |
1900 |
0,3 |
| Êàó÷óê |
0,79 |
0,27 |
0,46 |
| Êâàðöåâàÿ íèòü (ïëàâëåíàÿ) |
7300 |
3100 |
0,17 |
| Êîíñòàíòàí |
16000 |
6100 |
0,33 |
| Ëàòóíü êîðàáåëüíàÿ êàòàíàÿ |
9800 |
3600 |
0,36 |
| Ìàíãàíèí |
12300 |
4600 |
0,33 |
| Ìåäü ïðîêàòàííàÿ |
10800 |
3900 |
0,31–0,34 |
| Ìåäü õîëîäíîòÿíóòàÿ |
12700 |
4800 |
0,33 |
| Íèêåëü |
20400 |
7900 |
0,28 |
| Ïëåêñèãëàñ |
525 |
148 |
0,35 |
| Ðåçèíà ìÿãêàÿ âóëêàíèçèðîâàííàÿ |
0,15–0,5 |
0,05–0,15 |
0,46–0,49 |
| Ñåðåáðî |
8270 |
3030 |
0,37 |
| Ñòàëè ëåãèðîâàííûå |
20600 |
8000 |
0,25–0,30 |
| Ñòàëè óãëåðîäèñòûå |
19500–20500 |
800 |
0,24–0,28 |
| Ñòåêëî |
4900–7800 |
1750–2900 |
0,2–0,3 |
| Òèòàí |
11600 |
4400 |
0,32 |
| Öåëëóëîèä |
170–190 |
65 |
0,39 |
| Öèíê êàòàíûé |
8200 |
3100 |
0,27 |
| ×óãóí áåëûé, ñåðûé |
11300–11600 |
4400 |
0,23–0,27 |
Òàáëèöà 3 — Ñæèìàåìîñòü æèäêîñòåé ïðè ðàçëè÷íûõ òåìïåðàòóðàõ
| Âåùåñòâî |
Òåìïåðàòóðà,
°Ñ |
 èíòåðâàëå äàâëåíèé,
àòì |
Ñæèìàåìîñòü
β, 10-6 àòì-1 |
| Àöåòîí |
14,2 |
9–36 |
111 |
| 0 |
100–500 |
82 |
| 0 |
500–1000 |
59 |
| 0 |
1000–1500 |
47 |
| 0 |
1500–2000 |
40 |
| Áåíçîë |
16 |
8–37 |
90 |
| 20 |
99–296 |
78,7 |
| 20 |
296–494 |
67,5 |
| Âîäà |
20 |
1–2 |
46 |
| Ãëèöåðèí |
14,8 |
1–10 |
22,1 |
| Êàñòîðîâîå ìàñëî |
14,8 |
1–10 |
47,2 |
| Êåðîñèí |
1 |
1–15 |
67,91 |
| 16,1 |
1–15 |
76,77 |
| 35,1 |
1–15 |
82,83 |
| 52,2 |
1–15 |
92,21 |
| 72,1 |
1–15 |
100,16 |
| 94 |
1–15 |
108,8 |
| Êèñëîòà ñåðíàÿ |
0 |
1–16 |
302,5 |
| Êèñëîòà óêñóñíàÿ |
25 |
92,5 |
81,4 |
| Êåðîñèí |
10 |
1–5,25 |
74 |
| 100 |
1–5,25 |
132 |
| Íèòðîáåíçîë |
25 |
192 |
43,0 |
| Îëèâêîâîå ìàñëî |
14,8 |
1–10 |
56,3 |
| 20,5 |
1–10 |
63,3 |
| Ïàðàôèí (ñ òåìïåðàòóðîé ïëàâëåíèÿ 55 °Ñ) |
64 |
20–100 |
83 |
| 100 |
20–400 |
24 |
| 185 |
20–400 |
137 |
| Ðòóòü |
20 |
1–10 |
3,91 |
| Ñïèðò ýòèëîâûé |
20 |
1–50 |
112 |
| 20 |
50–100 |
102 |
| 20 |
100–200 |
95 |
| 20 |
200–300 |
86 |
| 20 |
300–400 |
80 |
| 100 |
900–1000 |
73 |
| Òîëóîë |
10 |
1–5,25 |
79 |
| 20 |
1–2 |
91,5 |
|
|
|
|
|
|
|
ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ |
|
|
|
Ñïðàâî÷íèê ïî ýëåìåíòàðíîé ôèçèêå / Í.È. Êîøêèí, Ì.Ã. Øèðêåâè÷. Ì.: Íàóêà. 1976. 255ñ.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
