Вращательное движение

 Вращательное движение

Круговым движением точки около некоторой оси называется такое движение, при котором траекторией точки является окружность с центром на этой оси, причем плоскость окружности перпендикулярна к этой оси.

Вращательным движением тела вокруг некоторой оси называется такое движение, при котором все точки тела совершают круговое движение около этой оси.

Равномерным вращением называется такое движение, при котором тело за любые равные промежутки времени поворачивается на один и тот же угол.

Угловая скорость равномерного вращения (ω) есть величина, измеряемая углом поворота за единицу времени:

1)

где

ω

—

угол поворота за время t, измеряемый в радианах (рад).

Угловая скорость может быть выражена через число оборотов в единице времени n или период обращения T:

2)

3)

Линейной скоростью точки во вращательном движении называется мгновенная скорость движущейся точки. Вектор скорости направлен по касательной к траектории. Угловая скорость ω связана с линейной скоростью v:

4)

где

R

—

расстояние от точки до оси вращения.

В случае неравномерного вращательного движения различают мгновенную и среднюю угловые скорости. Если за время от момента t₀ до момента t₀+Δt тело повернулось на угол Δψ, то средней угловой скоростью (ω_ср) за промежуток времени Δt называется отношение

5)

Предел этого отношения есть, по определению, мгновенная угловая скорость в момент времени t₀:

6)

Вращение, при котором за любые равные промежутки времени угловая скорость изменяется на одну и ту же величину, называется равнопеременным.

Угловым ускорением равнопеременного вращения ε называется величина, измеряемая изменением угловой скорости в единицу времени; точнее

7)

где

ωt	—	угловая скорость в момент времени t;
ω0	—	угловая скорость в момент начала отсчета времени t0.

Угловая скорость ω и угловое ускорение ε – величины векторные; направление вектора ω определяется по правилу правого винта (рис.1): если головку винта вращать по направлению вращения тела, то поступательное движение винта будет совпадать с направлением ω; вектор ω направлен вдоль оси вращения. Направление вектора углового ускорения совпадает с направлением ω, если угловая скорость увеличивается; при уменьшении угловой скорости направление вектора ε противоположно направлению ω.

Рис.1. Определение направления вектора угловой скорости по правилу правого винта

Если равнопеременное вращательное движение характеризовать числом оборотов в единицу времени n, то можно ввести ускорение ε*:

8)

nt	—	число оборотов в момент времени t;
n0	—	число оборотов в момент начала отсчета времени t0.

Угловая скорость равнопеременного вращения и частота оборотов по истечении времени t после начала вращения равны

9)

Угол поворота при равнопеременном вращении и число оборотов:

10)

При движении тела по криволинейной траектории скорость изменяется не только по величине, но и по направлению (рис.2).

Рис.2. Тангенциальное и нормальное ускорение. Вектор ОК=v0 определяет скорость в точке О (в момент в ремени t0); вектор О1К1=vt определяет скорость в точке О1 (в момент времени t0+Δt). Вектор vt перемещается параллельно в точку О (отрезком ОМ). Полное изменение скорости Δv определяется отрезком КМ; изменение скорости по модулю (тангенциальное изменение скорости Δvт) равно отрезку LM (ОК=OL); изменение нормальной составляющей скорости Δvн равно отрезку KL. Ускорения a, aт, aн будут равны соответствующим изменениям скорости за единицу времени)

Изменение величины линейной скорости за единицу времени называется тангенциальным ускорением:

11)

или, более строго,

12)

где

vt и v0

—

величины линейных скоростей в моменты времени t0+Δt и t0.

Тангенциальное ускорение связано с угловым ускорением:

13)

Направление a_T в данной точке траектории совпадает с направлением скорости или противоположно ему.

Изменение скорости по направлению за единицу времени называется нормальным ускорением:

14)

или, более строго,

15)

Нормальное ускорение направлено по радиусу кривизны траектории (к оси вращения).

Например, при равномерном вращении тела точки его движутся с ускорением, так как направление их скорости все время меняется. Нормальное ускорение в этом случае направлено к оси вращения (т.е. перпендикулярно к направлению линейной скорости) и носит название центростремительного ускорения:

16)

где

v	—	линейная скорость;
ω	—	угловая скорость;
R	—	радиус вращения точки.

Полное ускорение точки тела при равнопеременном вращательном движении (рис.2).

17)