Волны

 Волны

Волнами называют процесс распространения любого вида возмущений (т. е. изменений состояния).

Например, при ударе по одному концу металлического стрежня на этом конце образуется местное сжатие, которое затем распространяется с определенной скоростью вдоль стержня.

Скорость перемещения возмущения в пространстве называется скоростью волны. Скорость механических волн зависит от свойств среды, а в некоторых случаях – и от частоты. Зависимость скорости распространения волны от частоты называют дисперсией скорости.

При распространении механических волн частицы среды совершают колебательные движения относительно своих положений равновесия. Скорость таких движений частиц среды называется колебательной скоростью.

Если при распространении волн величины, характеризующие состояние среды (например, плотность, смещение частиц, давление и т. п.) изменяются в любой точке пространства по синусоидальному закону, то такие волны называют синусоидальными.

Важной характеристикой синусоидальных волн является длина волны. Длина волны λ – это расстояние, на которое распространяется волна в течение одного периода:

1)

2)

v	—	скорость распространения волн;
λ	—	частота;
T	—	период.

Математическое выражение вида

которое описывает изменение состояния среды при распространении синусоидальных волн, называется уравнением плоских гармонических волн.

В этом уравнении A – амплитуда волны, ω – циклическая частота, r – расстояние от источника, возбуждающего волну, до точки пространства, в которой рассматривается изменение некоторого свойства среды, v – скорость волны; k=2π/λ – волновое число; выражение ωt-kr называется фазой волны.

Поверхность, все точки которой находятся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью.

По форме волновых поверхностей различают волны плоские (плоские волновые поверхности), цилиндрические (цилиндрические волновые поверхности) и сферические (сферические волновые поверхности).

Уравнение цилиндрических волн:

сферических волн:

Если смещение частиц среды происходит параллельно направлению распространения волны, то такая волна называется продольной; если смещение частиц происходит в плоскости, перпендикулярной к направлению распространения, то такая волна называется поперечной. Механические волны в жидких и газообразных средах являются продольными, в твердых телах возможны и продольные, и поперечные волны.

Скорость продольных волн в стержнях:

3)

где

E	—	модуль Юнга;
ρ	—	плотность.

Скорость продольных волн в твердом теле, поперечные размеры которого много больше длины распространяющейся волны:

4)

где

ρ	—	плотность вещества;
E	—	модуль Юнга;
μ	—	коэффициент Пуассона.

Скорость продольных волн в тонких пластинках:

5)

Скорость продольных волн в жидкостях:

6)

где

βиз

—

изотермическая сжимаемость, γ=ср/сv.

Скорость поперечных (сдвиговых) волн:

7)

где

G

—

модуль сдвига.

Скорость звуковых волн в газах:

8)

где

γ=ср/сv, p – давление.

Формула 10 применима к идеальным газам, причем в этом случае ее можно записать и виде:

9)

где

μ'

—

молекулярный вес.

Волны на поверхности жидкости не являются ни поперечными, ни продольными. Движение частиц воды в поверхностных волнах более сложное (рис.1).

Рис.1. Траектории частиц воды при распространении поверхностных волн; а) в неглубокой воде; б) в глубокий воде (отношение 2πh/λ очень велико); в) в мелкой воде, (отношение 2πh/λ очень мало)

Скорость поверхностных волн

10)

где

g	—	ускорение силы тяжести;
λ	—	длина волны;
α	—	коэффициент поверхностного натяжения;
ρ	—	плотность.

Формулу 10 можно применять, если глубина жидкости не меньше 0,5λ.

Когда глубина жидкости h мала (меньше 0,5λ),

11)

При распространении волн переносится энергия, но частицы среды при этом не перемещаются по направлению распространения волн, а лишь совершают колебательное движение около положений равновесия (если волны имеют малую амплитуду и распространяются в невязкой среде). Интенсивностью волны называют величину численно равную средней энергии, переносимой волной за 1 сек через 1 см² волновой поверхности.

Интенсивность измеряется в вт/см² или эрг/см²·сек.

Интенсивность звуковых волн иногда называют силой звука.

При прохождении механических волн скорость и ускорение частиц среды изменяются по тому же гармоническому закону, что и смещение.

Если амплитуда смещения частиц при распространении плоской гармонической волны с циклической частотой ω имеет величину x₀ то амплитуда колебательной скорости будет иметь значение

12)

амплитуда ускорения

13)

интенсивность

14)

где

v	—	скорость волны;
ρ	—	плотность среды.